Вам Сон

Как решить интеграл cos(x) * dx / (1 + cos(x))?

Интегрирование функций является важной частью математики и широко используется в различных научных и инженерных областях. В данной статье мы рассмотрим способ решения интеграла cos(x) * dx / (1 + cos(x)).

Для начала, давайте проанализируем интеграл и попытаемся привести его к более простому виду. Обратите внимание, что нам дано отношение двух функций cos(x) и (1 + cos(x)). Когда мы сталкиваемся с такого рода интегралами, обычно полезно использовать подход, основанный на тригонометрических тождествах.

Мы знаем, что cos(x) = (1 - tan^2(x/2)) / (1 + tan^2(x/2)). Можно заметить, что (1 + cos(x)) = (1 + (1 - tan^2(x/2)) / (1 + tan^2(x/2))), что приводит к удобному виду (2 + tan^2(x/2)) / (1 + tan^2(x/2)). Это позволяет нам привести интеграл к виду: cos(x) * dx / (1 + cos(x)) = cos(x) * dx / (2 + tan^2(x/2)).

Теперь мы можем сделать замену переменной. Пусть u = tan(x/2), тогда dx = 2 / (1 + u^2) * du. Подставим это в наш интеграл:

∫ cos(x) * dx / (2 + tan^2(x/2)) = ∫ cos(x) * (2 / (1 + u^2)) * du / (2 + u^2).

Обратите внимание, что cos(x) = (1 - u^2) / (1 + u^2) (можно получить из тригонометрической идентичности cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ)). Подставляем это в интеграл:

∫ ((1 - u^2) / (1 + u^2)) * (2 / (1 + u^2)) * du / (2 + u^2).

Замечаем, что можно сократить (1 + u^2) в числителе и знаменателе:

∫ (1 - u^2) * (2 / (1 + u^2))^2 * du / (2 + u^2).

Упрощаем:

∫ (1 - u^2) * (4 / (1 + u^2)^2) * du / (2 + u^2).

Можно раскрыть квадрат в знаменателе и сократить:

∫ (1 - u^2) * (4 / (1 + 2u^2 + u^4)) * du / (2 + u^2) = ∫ (1 - u^2) * (4 / (u^4 + 2u^2 + 1)) * du / (2 + u^2).

Теперь давайте разложим числитель на сумму двух дробей:

∫ ((1 - u^2) / (u^4 + 2u^2 + 1)) * du / (2 + u^2) = ∫ ((1 - u^2) / ((u^2 + 1)^2)) * du / (2 + u^2) = ∫ (((1 - u^2) / (u^2 + 1)^2) * (1 / (2 + u^2))) * du.

Мы можем разложить числитель на две простые дроби:

∫ (((1 - u^2) / (u^2 + 1)^2) * (1 / (2 + u^2))) * du = ∫ (A / (u^2 + 1)) * du + ∫ (B / (u^2 + 1)^2) * du.

Найдем коэффициенты A и B с помощью метода неопределенных коэффициентов. Умножим обе части уравнения на (u^2 + 1)^2:

(1 - u^2) = A(u^2 + 1) + B.

Раскроем скобки:

1 - u^2 = A u^2 + A + B.

Сравниваем коэффициенты при u^2:

0 = 1A + (-1B).

Сравниваем свободные члены:

1 = A.

Тогда:

-1 = B.

Теперь подставим найденные значения коэффициентов в наш интеграл:

∫ (1 / (u^2 + 1)) * du - ∫ (1 / (u^2 + 1)^2) * du = arctan(u) - -1/2 * (1 / (u^2 + 1)) = arctan(u) + 1/2 * (1 / (u^2 + 1)).

Нам остается вернуться к исходной переменной x. Помним, что u = tan(x/2):

arctan(u) + 1/2 * (1 / (u^2 + 1)) = arctan(tan(x/2)) + 1/2 * (1 / (tan^2(x/2) + 1)).

Итак, окончательное решение интеграла:

∫ cos(x) * dx / (1 + cos(x)) = arctan(tan(x/2)) + 1/2 * (1 / (tan^2(x/2) + 1)).

Надеемся, что данное объяснение поможет вам понять процесс решения интеграла и в дальнейшем применении его в различных задачах.