Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм - ромб

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Докажем, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

Для начала рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рисунок).

Предположим, что этот параллелограмм можно вписать окружность, и пусть центр этой окружности будет точкой O. Обозначим точки пересечения окружности с сторонами параллелограмма как E, F, G и H.

Шаг 1: Диагонали параллелограмма

Поскольку E, F, G и H являются точками пересечения сторон с окружностью, то каждая из дуг AE, BF, CG и DH будет равна четверти окружности. Поскольку они являются равными частями окружности, значит, у них равные длины.

Таким образом, AE = BF = CG = DH.

Шаг 2: Равные дуги

Поскольку дуги AE и CG симметричны относительно диагонали AC, а дуги BF и DH симметричны относительно диагонали BD, то дуги AE и CG также равны между собой, а дуги BF и DH также равны между собой.

Таким образом, AE = CG и BF = DH.

Шаг 3: Дополнительные углы

Обозначим углы параллелограмма следующим образом: ∠A - угол между сторонами AB и AD, ∠B - угол между сторонами BA и BC, ∠C - угол между сторонами CD и CB, и ∠D - угол между сторонами AD и DC (см. рисунок).

Так как E, F, G и H - это точки пересечения сторон с окружностью, то углы AEO и GCO являются половинами соответствующих дуг. Аналогично, углы BFO и DHO являются половинами соответствующих дуг.

Поскольку радиус окружности одинаковый, углы AEO и GCO также равны между собой, а углы BFO и DHO также равны между собой.

Таким образом, ∠AEO = ∠GCO и ∠BFO = ∠DHO.

Шаг 4: Углы параллелограмма

Углы A и C являются дополнением к углам AEO и GCO соответственно (следовательно, они дополняются до 180 градусов), так как AE = CG.

Аналогично, углы B и D являются дополнением к углам BFO и DHO соответственно, так как BF = DH.

Таким образом, A + C = 180 градусов и B + D = 180 градусов.

Шаг 5: Доказательство

Теперь, если сложить углы A и C, а затем вычесть из этой суммы углы B и D, мы получим следующее:

(A + C) - (B + D) = 180 градусов - 180 градусов = 0 градусов.

Это означает, что сумма углов параллелограмма равна нулю градусов. Но это возможно только в том случае, если все углы параллелограмма равны между собой (каждый угол равен 90 градусам).

Таким образом, если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

Теорема доказана.

(К.д.)